像 (im) | 核 (ker)

像 (im)$ {\rm im}(f)

寫像について

寫像$ f:A\to Bについて、$ {\rm im}(f):=\{f(a)|a\in A\}

圈$ \bf Cに於いて

射$ f:A\to Bに就いて、可換圖式$ \begin{CD}A @>f>> B \\ @| @AAiA \\ A @>>> I\end{CD}を餘普遍的に滿たす組$ (I_{\in|{\bf C}|},i_{:I\hookrightarrow B})($ iは mono 射) を言ふ

←→餘像$ {\rm coim}(f)

核 (ker)が定義された寫像について

$ {\rm coim}(f):=A/{\rm ker}(f)

圈に於いて

射$ f:A\to Bに對して可換圖式$ \begin{CD}A @>f>> B \\ @| @AAA \\ A @>>c> C\end{CD}を滿たす普遍 (圈論)的な$ (C_{\in|{\bf C}|},c_{:A\twoheadrightarrow C}) ($ cはepi 射)

核 (ker)$ {\rm ker}(f)

寫像について

寫像$ f:A\to Bについて、$ {\rm ker}(f):=\{(a_1,a_2)|a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\}

核 (ker)の定める同値關係が恆等關係である時、卽ち$ {\rm ker}(f)=\varDelta(A):=\{(a,a)|a\in A\}である時、核 (ker)は自明であると言ふ

基點を保つ準同型について

基點を持つ集合$ (A,*_A),$ (B,*_B)の閒の準同型$ f:A\to Bについて、$ {\rm ker}(f):=\{a|a\in A,f(a)=*_B\}

核が$ Aの基點の集合と一致する$ {\rm ker}(f)=\{*_A\}時、核 (ker)は自明であると言ふ

核 (ker)が自明な準同型寫像は單射である

零射を持つ圈$ \bf Cに於いて

射$ f:A\to Bについて、可換圖式$ \begin{CD}A @>f>> B \\ @AkAA @AA{0_{KB}}A \\ K @= K\end{CD}を普遍 (圈論)的に滿たす組$ (K_{\in|{\bf C}|},k_{:K\to A})を言ふ

射$ f:A\to Bの核 (ker)$ (K,k)は、射$ fと零射$ 0_{AB}との等化子である

←→餘核$ {\rm coker}(f)

寫像について

$ {\rm coker}(f):=B/{\rm im}(f)

零射を持つ圈に於いて

射$ f:A\to Bに對して可換圖式$ \begin{CD}A @>f>> B \\ @| @VVqV \\ A @>>{0_{AQ}}> Q\end{CD}を滿たす餘普遍的な$ (Q_{\in|{\bf C}|},q_{:B\to Q})